ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಕಾನೂನುಗಳು

19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಐರಿಶ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಜಾರ್ಜ್ ಬುಲ್ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ("ಚಿಂತನೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಅಧ್ಯಯನ"). ಆದ್ದರಿಂದ ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ.

ಅಕ್ಷರದ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವು ಹೇಳಿಕೆ ತರ್ಕದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. , ಅಂದರೆ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಲಿಖಿತ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಹೊಂದಲು.

ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳುತನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು (ಅಂದರೆ, ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು), ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬೈನರಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೌಲ್ಯ 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದು ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 0 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬೈನರಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ತಾರ್ಕಿಕ 1 ಮತ್ತು 0 ಗಳು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ರಾಜ್ಯ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಿದ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, 1 ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಇರುವಿಕೆ ಮತ್ತು 0 ಅದರ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ಮೂಲಗಳಿಂದ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನ ಒಂದು ನೋಡ್‌ಗೆ ವೋಲ್ಟೇಜ್‌ಗಳ ಪೂರೈಕೆ (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಹಲವಾರು ತಾರ್ಕಿಕ ಘಟಕಗಳ ಆಗಮನ) ನೋಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೂಚಿಸುವ ತಾರ್ಕಿಕ ಘಟಕವಾಗಿ ಸಹ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಲಾಜಿಕ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಾಗ, ಕೇವಲ ತಾರ್ಕಿಕ 0 ಅಥವಾ 1 ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ (ಕಾರ್ಯ)… ನಾವು X1 ಮತ್ತು X2 ಮೂಲಕ ಇನ್‌ಪುಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು y ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ.

ಯೋಚಿಸಿ ನೋಡಿ ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಇದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು.

1. ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ - ತಾರ್ಕಿಕ ಸೇರ್ಪಡೆ:

ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ - ತಾರ್ಕಿಕ ಸೇರ್ಪಡೆ

ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಔಟ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಘಟಕದ ಸಾಕಾಗುವಷ್ಟು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಒಬ್ಬರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಹೆಸರನ್ನು ಯೂನಿಯನ್ ಅಥವಾ ಪದಗುಚ್ಛದಲ್ಲಿ ಶಬ್ದಾರ್ಥದ ಅರ್ಥದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ: "OR ಒಂದು ಇನ್ಪುಟ್ ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯದು ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಔಟ್ಪುಟ್ ಒಂದಾಗಿದೆ."

2. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಮತ್ತು - ತಾರ್ಕಿಕ ಗುಣಾಕಾರ:

ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ - ತಾರ್ಕಿಕ ಗುಣಾಕಾರ

ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದರಿಂದ, ಔಟ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಅಗತ್ಯತೆ ಎಂದು AND ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: “AND ಒಂದು ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಔಟ್ಪುಟ್ ಒಂದು. «

3. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಅಲ್ಲ - ತಾರ್ಕಿಕ ನಿರಾಕರಣೆ ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ. ಇದನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯತಿರಿಕ್ತಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ತಾರ್ಕಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು:

1. ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್‌ನ ನಿಯಮ: ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ:

ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಕಾನೂನು

2. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೆಟ್ನ ಕಾನೂನು - ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕಾನೂನುಗಳ ಸೆಟ್

3. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕಾನೂನು — ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಘಾತ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವಿಲ್ಲ):

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮ